確率母関数による二項分布の平均・分散の導出方法 - データサイエンス時代で活躍できる人材になるために

確率母関数の定義とk次の階乗モーメント
二項分布の平均の導出
二項分布の分散の導出

二項分布の平均や分散を求める問題は，大学の試験だけでなく統計検定やE資格などにも出題される可能性があります．二項分布の平均や分散を定義に通りに求めようとすると, 計算がとても大変になりもっと簡単に求める方法はないの？と思うことがあります．

二項分布の平均・分散の導出方法は以下の3通りがあります．(他にもひょっとするとあるかもしれません)

平均や分散の定義にもとづいた導出
モーメント母関数を用いた導出
確率母関数を用いた導出

今回は，確率母関数を用いた二項分布の平均・分散の導出方法をご紹介します！

確率母関数の定義とk次の階乗モーメント

整数値をとる確率変数 $X$ の確率密度関数を $p(x)$ として， $t$ を任意の実数とするとき $X$ の確率母関数は以下で定義されます．
$p(t)=E(t^X)=\sum_xt^xp(x)$

確率母関数を用いることで，k次の階乗モーメントを定義することができます．
離散型確率分布の場合， $k$ 次の階乗モーメントを用いることでモーメントが求めやすくなることがよくあります． $k$ 次の階乗モーメントは以下のように表すことができます．
$\left. \frac{d^kp(t)}{dt^k}\right|_{t=1}=E[X(X-1)\cdots(X-k+1)$

導出方法はとても簡単です．まず $k=1$ のときを考えると，
$\begin{align*} \frac{dp(t)}{dt}&=\frac{d}{dt}E[t^X]\\ &=E\left[\frac{d}{dt}t^X\right]\\ &=E[Xt^{X-1}] \end{align*}$
となります.
同様に考えると，
$\frac{d^kp(t)}{dt^k}=E[X(X-1)\cdots(X-k+1)t^{X-k}$ ]であるため，ここに $t=1$ を代入すれば求めたい等式を得ることができます．

二項分布の平均の導出

$n$ は整数， $0< p <1, q=1-p$ とします．
このとき，二項分布の確率母関数は以下で表されます．
$\begin{align*} p(t)&=E[t^X]\\ &=\sum_{x=0}^{n}t^x{_nC_x}p^xq^{n-x}\\ &=\sum_{x=0}^{n}{_nC_x}( tp )^x q^{n-x}\\ &=(tp+q)^n \end{align*}$
平均 $E[X$ ]は， $k=1$ の階乗モーメント $\left. E[X]=\frac{dp(t)}{dt}\right|_{t=1}$ で求めることができます．
$\begin{align*} \frac{dp(t)}{dt}&=np(tp+q)^{n-1} \\ &=np(tp+1-p)^{n-1} \end{align*}$
したがって，
$\left. E[X]=\frac{dp(t)}{dt}\right|_{t=1}=np$ を得ることができます．

二項分布の分散の導出

分散の定義より，
$\begin{align*} \mathrm{Var}[X]&=E[X^2]-[E]^2\\ &=E[X(X-1)]+E[X]-[E]^2 \end{align*}$
です． $E[X]$ はすでに求めているので， $2$ 次の階乗モーメントを用いて $E[X(X-1)]$ さえ求めれば良いことがわかります．
$\begin{align*} \frac{d^2p(t)}{d^2t}&=n(n-1)p^2(tp+q)^{n-2} \\ \end{align*}$
であるので $2$ 次の階乗モーメントは，
$\begin{align*} \left. E[X(X-1)]=\frac{d^2p(t)}{d^2t}\right|_{t=1}=n(n-1)p^2 \end{align*}$
です．
したがって，分散は
$\begin{align*} &=E[X(X-1)]+E[X]-[E]^2\\ &=n(n-1)p^2 +np -(np)^2\\ &=np(1-p)\\ &=npq \end{align*}$
となります．